四元數系列：

四元數-基本概念

四元數-旋轉

四元數應用-轉矩陣Slerp插值與萬(wàn)向節

四元數應用-旋轉混合順序無(wú)關(guān)

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今天，我們來(lái)談?wù)勔恍╆P(guān)于四元數的例子。與前兩篇文章相比，它們可能有點(diǎn)分散，這是對前兩章的補充說(shuō)明。具體來(lái)說(shuō)，我們將討論三個(gè)問(wèn)題。第一個(gè)是四元數和矩陣的轉換，第二個(gè)是四元數的插入值。最后，我們來(lái)談?wù)勅f(wàn)向節鎖的問(wèn)題。話(huà)不多說(shuō)，開(kāi)始談話(huà)。

1.四元數矩陣形式

目前，大多數底層的圖形API，空間坐標的轉換仍然基于矩陣。因此，當我們使用四元數來(lái)操作旋轉時(shí)，最終傳輸給頂點(diǎn)著(zhù)色器的數據應以矩陣的形式進(jìn)行。然而，從應用層的角度來(lái)看，我們可以通過(guò)滿(mǎn)足以下公式來(lái)實(shí)現轉換。

我相信大多數人對背誦公式并不滿(mǎn)意。推導公式的主要方法有兩種。其中一個(gè)是從代數的角度解決問(wèn)題。直率地說(shuō)，這是一個(gè)硬算。我們在四元數和旋轉（2）中提到了一個(gè)公式：

我們可以找到三個(gè)矩陣，然后添加上述轉換公式。這里沒(méi)有推導，感興趣的人可以自己計算。以下是一種更靈性的證明方法。當給出以下兩個(gè)四元數時(shí)：

如下圖所示：

可以說(shuō)，兩個(gè)四元數相乘轉換為矩陣L右乘四元數q。發(fā)散思維，把這種行為寫(xiě)成矩陣R左乘四元數q，具體形式如下圖所示：

最體看L和R括號中的四元下標非常重要，因為四元不符合交換規律，括號中的下標實(shí)際上是不同的我們必須注意這個(gè)地方?；A知識完成后，直接應用于下面。根據旋轉公式和上述定義，我們很容易得到以下公式：

然后將L和R在上述矩陣中，我們可以得到：

證畢！

2.四元數的Slerp插值

事實(shí)上，插值問(wèn)題一直是圖形學(xué)中的一個(gè)經(jīng)典問(wèn)題。一般來(lái)說(shuō)，線(xiàn)性插值可以滿(mǎn)足大多數情況，但對于旋轉，線(xiàn)性插值肯定不好。讓我們下圖：

很明顯，左圖(線(xiàn)插)比右圖(球插)差。從動(dòng)畫(huà)的角度來(lái)看，為了保證每幀的旋轉均勻變化，線(xiàn)性插值得到的旋轉結果必須不均勻，主要考慮旋轉角度。然后我們從代數的角度來(lái)思考。如果兩個(gè)單位的四元數之間的插值，如左圖的線(xiàn)性插值，則得到的四元數不得為單位的四元數。我們希望旋轉插值不會(huì )改變長(cháng)度，因此顯然右圖的球面（Slerp）插值更合理。

四元數球面插值證明很多，Wiki上面有非常詳細的證據和實(shí)現Code。事實(shí)上，主要思想是施密特正交。首先，根據 和 解算兩個(gè)正 交四元，然后通過(guò)加權計算最終 。下圖可以很好地解釋這件事。

下面主要討論的是這個(gè)問(wèn)題。上圖給出了一種球面插值公式，暫時(shí)稱(chēng)為加法形式。由于四元旋轉是相乘的，我們的上述公式也可以寫(xiě)成:

鑒于刨根問(wèn)底的精神，先說(shuō)四元數的差異。（Difference），這更容易理解，類(lèi)似于矩陣，A與B的差異可以理解為先旋轉A，然后旋轉B，得到A和B兩者之間的差值，表示為 。然后，如果我們去t倍差或直接說(shuō)差乘以t因子，我們將引用四元數和旋轉（1）中提到的四元數指數形式。對于 ，我們來(lái)看看 和 具體情況如下：

最后我們令 以及 ，根據以下公式重新審視球面插值：

可見(jiàn)，兩種表現形式可以相互轉化。

三、萬(wàn)向節死鎖

事實(shí)上，這個(gè)問(wèn)題不能算作四元的應用。在萬(wàn)向節鎖的早期階段，它被用來(lái)處理旋轉過(guò)程中機械臂缺乏自由度的問(wèn)題。由于當時(shí)機械臂的關(guān)節是單自由的，在模擬人體的一些球形關(guān)節（自由度為3的關(guān)節）時(shí)，將使用三組正交機械關(guān)節進(jìn)行模擬。

如圖所示，當關(guān)節2旋轉90時(shí)，機械關(guān)節1-3共同模擬手腕活動(dòng)°之后關(guān)節1和關(guān)節3會(huì )重疊，所以旋轉關(guān)節1和旋轉關(guān)節3只會(huì )沿著(zhù) 旋轉軸，這就是萬(wàn)向節鎖。值得一提的是，當你旋轉關(guān)節1、關(guān)節2和關(guān)節3時(shí)，當你旋轉關(guān)節3時(shí)，無(wú)論如何旋轉都不會(huì )影響關(guān)節2和關(guān)節1，所以只有關(guān)節2旋轉90°萬(wàn)向節鎖會(huì )產(chǎn)生。

當早期的計算機動(dòng)畫(huà)移動(dòng)機器人時(shí)，最簡(jiǎn)單的方法是直接模擬歐拉角的旋轉。這導致了通用鎖。那么如何理解計算機動(dòng)畫(huà)中的這個(gè)問(wèn)題呢？畢竟，動(dòng)畫(huà)中沒(méi)有機械關(guān)節。

假設三個(gè)歐拉角的旋轉順序如下

當 的時(shí)候， 和 它將重疊，如右圖，從而產(chǎn)生萬(wàn)向節鎖。

因此，為了避免這個(gè)問(wèn)題，圖形旋轉開(kāi)始使用軸角，因為軸角可以說(shuō)三個(gè)歐拉角等同于繞特定軸旋轉的角度。OpenGL有個(gè)函數glRotate實(shí)現函數的方法是使用軸角。當然，并不是說(shuō)軸角沒(méi)有萬(wàn)向鎖。當三個(gè)正交軸角按一定順序旋轉時(shí)，仍然會(huì )產(chǎn)生萬(wàn)向鎖，但這種情況很難發(fā)生。

所以軸角解決了這個(gè)問(wèn)題，為什么要用四元數？

4.總結四元數

最后點(diǎn)一個(gè)問(wèn)題，呼應前面的文章，具體說(shuō)說(shuō)四元數的好處:

解決萬(wàn)向節鎖（Gimbal Lock）問(wèn)題。(不要用四元數模擬歐拉角?。┲恍璐鎯?個(gè)浮點(diǎn)，比矩陣輕。例如，矩陣至少需要9個(gè)float表示旋轉信息，即使加上旋轉縮放，也會(huì )比矩陣少存2-6個(gè)float，對于在PC游戲的開(kāi)發(fā)可能并不明顯，畢竟，現在內存很大，但在家用機器（尤其是上一代）中，內存相對較緊是相當有利的。無(wú)論是求逆、串聯(lián)等操作，四元數都比矩陣更高效。例如，逆轉相當于逆轉。即使是正交矩陣，轉移的操作成本也遠高于逆轉。此外，在大多數情況下，由于縮放，逆轉操作將更加復雜。然而，使用四元數需要考慮轉換四元數和矩陣的成本，但綜合考慮，四元數的運行成本相對較低。

基本上四元數在我這里就結束了，以后會(huì )有人請人 @Obsver Anonym 請期待更新一篇具體應用的文章！